Categories
TLP 100

Logica

5.4541 […] Die Menschen haben immer geahnt, daß es ein Gebiet von Fragen geben müsse, deren Antworten – a priori – symmetrisch, und zu einem abgeschlossenen, regelmäßigen Gebilde vereint-liegen.

Ein Gebiet, in dem der Satz gilt: simplex sigillum veri.

De logica is de leer van de vormen en van het afleiden (TLP 6.1224). De logica is geen leer, maar een spiegelbeeld van de wereld. Ze is transcendentaal (TLP 6.13).

5.61 Die Logik erfüllt die Welt; die Grenzen der Welt sind auch ihre Grenzen.

We kunnen in de logica niet zeggen: dit is er in de wereld, en dat niet. Dat zou immers inhouden dat we bepaalde mogelijkheden uitsluiten en dat we ons dus buiten de wereld zouden moeten plaatsen om die grenzen van de andere zijde te kunnen overdenken.

Was wir nicht denken können, das können wir nicht denken; wir können also auch nicht sagen, was wir nicht denken können.

Als we in de verleiding komen om een logisch vraagstuk te beantwoorden “durch Ansehen der Welt”, dan zijn we op “grundfalscher Fährte” (TLP 5.551). De enige ervaring waardoor we de logica begrijpen gaat niet over hoe iets zich verhoudt maar dat er iets is.

5.552 […] Sie ist vor dem Wie, nicht vor dem Was.

Er kan zich in de logica ook nooit een verrassing voordoen (TLP 6.1251). De logica is a priori : niets onlogisch kan worden gedacht (TLP 5.4731).

De (teken)taal zelf moet alle logische fouten onmogelijk maken. Dat er oertekens bestaan in de logica moet gerechtvaardigd worden, en de manier waarop de logica uit hen is opgebouwd moet duidelijk zijn (TLP 5.45). De grondbegrippen van de logica moeten onafhankelijk van elkaar zijn (TLP 5.451) en van de precieze verbinding waarin ze voorkomen. Wittgenstein maakt opnieuw duidelijk in TLP 5.46 dat de » q«, »(x) . fx«, etc. niet de oertekens zijn, maar wel “die allgemeinste Form ihrer Kombinationen” :

5.472 Die Beschreibung der allgemeinsten Satzform ist die Beschreibung des einen und einzigen allgemeinen Urzeichens der Logik.

Er is geen hiërarchie, geen ‘algemeen’ versus ‘speciaal’ in de logica (TLP 5.454), geen ‘fundamentele’ en ‘afgeleide’ wetten (TLP 6.127).

6.1 Die Sätze der Logik sind Tautologien.

De logische uitspraken stellen het geraamte, het ‘stellingwerk’ van de wereld voor. Ze ‘gaan’ nergens over. Ze vooronderstellen dat Namen Bedeutung en dat Elementarsätze Sinn hebben: “Und dies ist ihre Verbindung mit der Welt” (TLP 6.124). Maar dat bepaalde verbindingen van symbolen tautologieën zijn, zegt iets over de wereld. Het is de “Natur der naturnotwendigen Zeichen” die zich uitspreekt.

Wie beweert dat een logische uitspraak “gehaltvoll” is, heeft het dus verkeerd voor (TLP 6.111). Dat een logische uitspraak waar is, moet aan het symbool op zich herkend worden. En omgekeerd: de waarheid of onwaarheid van een niet-logische zin kan niét aan de zin op zich herkend worden (TLP 6.113).

Het kenmerk van de logische uitspraak is niet dat ze algemeen geldig is (TLP 6.1231). Algemeen wil alleen zeggen: geldt toevalligerwijze voor alle dingen. Ook een niet-veralgemeende zin kan een tautologie zijn.

Het logische bewijs van een betekenisvolle zin en het bewijs in de logica zijn wel twee volledig verschillende dingen (TLP 6.1263). Een logisch “bewijs” heeft dan ook niets met Sinn of Bedeutung te doen maar draait enkel om de wijze waarop uit een aantal tautologieën opnieuw een tautologie af te leiden valt. Uiteraard is ook die bewijsvoering zelf vreemd aan de logica : ze is enkel een hulpmiddel om makkelijker te zien dat de ‘gegeven’ uitspraken an sich tautologieën zijn.

6.1261 In der Logik sind Prozeß und Resultat äquivalent. (Darum keine Überraschung.)

De manier waarop de logische uitspraken wordt gevormd, noemt Wittgenstein een Nullmethode : ze brengt immers zinnen in ‘evenwicht’ met elkaar (TLP 6.121). Dat bijvoorbeeld »q« uit » q . p« volgt, zien we aan de beide zinnen zelf. Maar we kunnen het ook zo tonen door ze te verbinden tot » q . p :⊃: q« en aan te tonen dat het hier om een tautologie gaat (TLP 6.1221).

Het is pas in de toepassing van de logica dat wordt beslist welke Elementarsätze er zijn (TLP 5.557).

Categories
TLP 100

De algemene vorm van de zin

6 Die allgemeine Form der Wahrheitsfunktion ist: [ pξ, N(ξ) ].
Dies ist die allgemeine Form des Satzes.

Iedere zin is het resultaat van de opeenvolgende toepassing van de operatie N'(·) – die we hieronder zullen invoeren – op de elementaire zinnen (TLP 6.001).

(De notatie [x0, x, O(x)] zijn we al bij de formele begrippen tegengekomen. De lijn boven de argumenten duidt aan dat het om een argument met meerdere exemplaren van (elementaire) zinnen kan gaan.)

In één beweging definieert Wittgenstein ook de (natuurlijke) getallen, enerzijds als de exponent – de ‘teller’ – van de zich ‘zelfvermenigvuldigende’ operatie (TLP 6.021) en anderzijds, zoals Richard Dedekind en Giuseppe Peano hem voordeden, als eenvoudige toepassing van het bovenstaande recept: [ 0, ξ, ξ+1 ]. In woorden: we starten met de definitie van ‘0’ en definiëren 1 als de ‘opvolger’ van 0, 2 als de opvolger van 1, enzovoort (TLP 6.03).)

Waarom vindt Wittgenstein die algemene vorm van de waarheidsfunctie zo belangrijk dat hij er één van de zeven Sätze van de Tractatus van maakt?

Die Logik muß für sich selber sorgen. 

Ludwig Wittgenstein, MS-101, 22.08.1914

In één van zijn eerste dagboeknotities aan het front legt Wittgenstein zichzelf al zijn programma op. Niets in de logica mag – kàn – toevallig zijn. Alles wat mogelijk is, is toegelaten. Alles wat ‘arbitrair’ is, in de zin dat iemand alsnog moet oordelen over het precieze gebruik, is uit den boze.

5.473 […] Wir können uns, in gewissem Sinne, nicht in der Logik irren.

Die eis geldt in het bijzonder voor de notaties, het tekensysteem, dat de ‘logische Syntax’ dient te eerbiedigen. Het Begriffsschrift van Frege en Russell is een verdienstelijke poging in die zin, “die allerdings noch nicht alle Fehler ausschließt” (TLP 3.325).

Voor Wittgenstein is het duidelijk dat de logica, de logische uitspraken en de Sätze in het algemeen, aan elkaar hangen door middel van interne relaties (TLP 5.2), ook al wordt die interne structuur vaak versluierd door een ondoorzichtige oppervlakkige notatie.

Terwijl Wittgenstein het werk van Frege en Russell uitpuurde, publiceerde een Amerikaans logicus, Henry Sheffer, in 1913 een reconstructie van de logische syntax waarin hij slechts één ‘constante’ operator nodig had in plaats van de traditionele EN, NIET en OF. Sheffer bouwde zijn stelsel op aan de hand van de NOR-operator (niet het éne én niet het andere) en gaf terloops mee dat dat evengoed kon aan de hand van de NAND-operator (niét het éne én het andere).

De laatste operator wordt vandaag met de streep van Sheffer genoteerd “p | q” terwijl NOR met de pijl van Peirce wordt aangegeven: “p q”. Die Peirce is Charles Peirce die dertig jaar voor Sheffer al tot dezelfde conclusie was gekomen – maar dat niet had gepubliceerd.

Let op: Wittgenstein gebruikt de streep van Sheffer in de Tractatus om NOR aan te duiden. We kunnen niet uit de tekst opmaken in hoeverre Wittgenstein zich ervan bewust was dat zowel NOR als diens duale operator NAND in aanmerking kwamen voor wat Wittgenstein beoogde.

Wat Wittgenstein dus met zijn N-operator uit Satz 6 bedoelt, is dat de hele syntax kan worden geschreven door opeenvolgende, geneste toepassingen van de streep van Sheffer op de elementaire zinnen:

5.51 Hat ξ nur einen Wert, so ist N(ξ) = ~p (nicht p), hat es zwei Werte, so ist N(ξ) = ~p . ~q (weder p noch q).

Het opzet is duidelijk. Vervang de slechts schijnbaar veelbetekenende tekens »⊃«, »~«, »∨« enzoverder door misschien ingewikkeldere maar ‘structurelere’ uitdrukkingen met de streep van Sheffer en we gaan alvast niet meer verleid worden om te denken dat die tekens »⊃«, »~«, »∨« met iets uit de werkelijkheid zouden overeenkomen (TLP 5.4).

Dat we die tekens overigens al kunnen definiëren door middel van elkaar, wijst erop dat ze geen ‘oertekens’ zijn (TLP 5.42) – en bewijst (of suggereert minstens) dat het de interne relaties tussen de zinnen zijn die het wezenlijke beschrijven.

5.512 […] Das, was in »~p« verneint, ist aber nicht das »~«, sondern dasjenige, was allen Zeichen dieser Notation, welche p verneinen, gemeinsam ist.

Also die gemeinsame Regel, nach welcher »~p«, »~~~p«, »~p  ~p«, »~p . ~p«, etc. etc. (ad inf.) gebildet werden. Und dies Gemeinsame spiegelt die Verneinung wider.

Wittgenstein wil op die manier de interne relaties tussen de zinnen op uniforme wijze voorstellen, meer nog: zinnen construeren uit andere zinnen en ultiem uit elementaire zinnen door middel van opeenvolgende toepassingen van één Wahrheitsoperation (omzeggens heel TLP 5.2, 5.3sqq).

Het zijn de elementaire zinnen die ‘drager’ zijn van de waarheid in de manier waarop ze overeenkomen met bestaande Sachverhalte. Met die elementaire zinnen worden op de hierboven geschetste manier zinnen geconstrueerd, en met die zinnen opnieuw zinnen samengesteld enzoverder maar: de logica staat volledig los van (enig vermoeden van) de empirische betekenis van de uiteindelijke zinnen.

Wie zich waagt aan een ‘semantische’ onderbouw voor logische constanten en zelfs het logische stelsel in zijn geheel, verliest zichzelf al snel in onzin door uitspraken te doen over ‘dingen’ die in de werkelijkheid niet bestaan.

Meer nog: de logica, zoals we zullen zien, beperkt zich tot tautologieën en contradicties. Alle overige zinnen maken geen deel uit van de logica. De waarheidsmogelijkheden van de elementaire zinnen, samen met de regels van de logische syntax, bepalen verder, los van de werkelijkheid, of de samengestelde zinnen waar of onwaar zijn. Je kan je evenzovele werelden inbeelden waarin telkens een andere constellatie van waarheidsmogelijkheden geldt en de ene zin waar en de andere onwaar is – of vice versa. Dat maakt niet uit voor een toepassing van de logica om de interne samenhang tussen de zinnen te begrijpen. De structuur van de zinnen zegt alles.

5.3 […] Jeder Satz ist das Resultat von Wahrheitsoperationen mit Elementarsätzen.

Wie dat eenvoudiger vindt, kan de hele operatie bekijken door de lens van de Wahrheitsfunktion uit de voorgaande bijdragen. Uit de tabel van TLP 5.101 weten we immers dat ‘—–W’ de waarheidsvoorwaarden zijn van XII, de NOR van Sheffer.

5.5 Jede Wahrheitsfunktion ist ein Resultat der successiven Anwendung der Operation (—–W)(ξ, . . . .) auf Elementarsätze.

Diese Operation verneint sämtliche Sätze in der rechten Klammer, und ich nenne sie die Negation dieser Sätze.

5.502 Ich schreibe also statt »(—–W)(ξ, . . . .)« »N(ξ)«.

N(ξ) ist die Negation sämtlicher Werte der Satzvariablen ξ.

Uit die Wahrheitsfunktion is ook het begrip “Alle” gehaald, of beter: de Allgemeinheitsbezeichnung treedt op als argument (TLP 5.523). Als er voorwerpen zijn, zijn er in één beweging alle voorwerpen gegeven; zijn de elementaire zinnen gegeven, dan daarmee ook alle elementaire zinnen (TLP 5.524). De zinnen kunnen in eerste instantie zo algemeen zijn dat geen enkele Name naar een specifieke Gegenstand verwijst.

5.526 […] Um dann auf die gewöhnliche Ausdrucksweise zu kommen, muss man einfach nach einem Ausdruck: »Es gibt ein und nur ein x, welches…« sagen: Und dies x ist a.

Zeggen en tonen…

Categories
TLP 100

Waarschijnlijkheid

5.156 […] Der Wahrscheinlichkeitssatz ist gleichsam ein Auszug aus anderen Sätzen.

Op basis van de waarheidsgronden uit het vorige stukje definieert Wittgenstein ook de waarschijnlijkheid die een zin r aan een zin s geeft:

5.15 Ist Wr die Anzahl der Wahrheitsgründe des Satzes »r«, Wrs die Anzahl derjenigen Wahrheitsgründe des Satzes »s«, die zugleich Wahrheitsgründe von »r« sind, dann nennen wir das Verhältnis: Wrs : Wr das Maß der Wahrscheinlichkeit, welche der Satz »r« dem Satz »s« gibt.

Neem voor de zin s uit deze definitie de tautologie I. Wrs zal altijd gelijk zijn aan Wr. De waarschijnlijkheid van een tautologie is dus altijd 1, ongeacht de zin r die we als ‘prior’ of ‘evidence’ beschouwen. Voor de contradictie O als zin s zal Wrs altijd nul zijn en daarmee ook de waarschijnlijkheid van een contradictie.

Neem voor de zinnen r en s de zinnen X: p (W-W-) en XI : q (WW–). Elementaire zinnen geven elkaar de waarschijnlijkheid 1/2 (TLP 5.152).

Een zin s die uit een zin r volgt, krijgt van r de waarschijnlijkheid 1. (Neem bijvoorbeeld X: p (W-W-) die volgt uit XV: p.q (W—)).

Merk op dat een zin an sich noch waarschijnlijk noch onwaarschijnlijk is. Er is geen bijzonder voorwerp eigen aan uitspraken over waarschijnlijkheid (TLP 5.1511). Een gebeurtenis doet zich voor of niet (TLP 5.153). Een uitspraak over waarschijnlijkheid stelt dat “de omstandigheden – die ik verder niet ken -” het plaatsvinden van een bepaalde gebeurtenis een bepaalde graad van waarschijnlijkheid geven (TLP 5.155). Het beeld dat een zin geeft, kan, voor een gegeven Sachlage, immers een onvolledig beeld zijn maar wel iets over zijn vorm prijsgeven. Op die manier behelst waarschijnlijkheid een algemene(re) beschrijving van de vorm van een zin (TLP 5.156).

Categories
TLP 100

Weten en gewetene

5.1362 […] Der Zusammenhang von Wissen und Gewußtem, ist der der logischen Notwendigkeit.

De Wahrheitsmöglichkeiten van zijn Wahrheitsargumente die de zin waar maken, worden diens Wahrheitsgründe genoemd (TLP 5.101). Daarmee definieert Wittgenstein causaliteit tussen zinnen:

5.11 Sind die Wahrheitsgründe, die einer Anzahl von Sätzen gemeinsam sind, sämtlich auch Wahrheitsgründe eines bestimmten Satzes, so sagen wir, die Wahrheit dieses Satzes folge aus der Wahrheit jener Sätze.

Uit V q en VII: ~p volgt XI: q (TLP 5.1311). De gemeenschappelijke Wahrheitsgründe van V: WWW- en VII: -W-W zijn immers -W– terwijl die van XI: WW–.

5.123 Wenn ein Gott eine Welt erschafft, worin gewisse Sätze wahr sind, so schafft er damit auch schon eine Welt, in welcher alle ihre Folgesätze stimmen. […]

Al het gevolgtrekken of afleiden gebeurt a priori (TLP 5.133). De aard van de conclusie valt alleen uit de zinnen op te maken. ‘Afleidingsregels’ die de conclusies moeten rechtvaardigen, zoals bij Frege en Russell, zijn zinloos (TLP 5.132).

Dat de waarheid van een zin uit die van andere zinnen volgt, lezen we af uit de structuur van de zinnen (TLP 5.13). (Wittgenstein illustreert dit aan de hand van het voorbeeld van hierboven – uit V en VII volgt XI – door zowel » q« en »~p« uit te drukken door middel van de pijl van Peirce, de NOR-operatie – ook al gebruikt hij het teken dat we nu doorgaans gebruiken voor de duale operatie NAND, de zogenoemde streep van Sheffer, wat blijkbaar W.F. Hermans verwart. Wittgenstein heeft daar zijn redenen voor, die in een volgende bijdrage aan bod komen.)

Een erg belangrijke toepassing van de definitie TLP 5.11 is

5.12 Insbesondere folgt die Wahrheit eines Satzes »p« aus der Wahrheit eines anderen »q«, wenn alle Wahrheitsgründe des zweiten Wahrheitsgründe des ersten sind.

Uit XV: p . q volgt zowel X: p als XI: q. We hebben immers XV: W—, X: W-W- en XI: WW–. De Wahrheitsgründe van XVzijn in die van X en XI vervat (TLP 5.121). De Sinn, de betekenis van X en XI zit in die van XV vervat (TLP 5.122). XV bevestigt X en XI (TLP 5.124). Ik kan uit XV X (of XI) besluiten; X (of XI) uit XV afleiden (TLP 5.132). XV zegt meer dan X of XI en omgekeerd (TLP 5.14).

De tautologie (I:WWWW) volgt uit iedere zin. Ze zegt dus niets (TLP 5.142).

Volgt p uit q en q uit p, dan zijn ze één en dezelfde zin (TLP 5.141). Hun Wahrheitsgründe vallen samen.

Twee zinnen zijn anderzijds tegengesteld aan elkaar wanneer er geen betekenisvolle zin is die ze beide bevestigt. Neem bijvoorbeeld VII: ~p en X: p, met respectievelijk VII: -W-W en X: W-W-. De Wahrheitsgründe overlappen nergens. Iedere zin die een andere tegenspreekt, ontkent deze (TLP 5.1241).

Zinnen die geen Wahrheitsargumente met elkaar gemeen hebben, noemen we onafhankelijk van elkaar (TLP 5.152).

Uit een elementaire zin ten slotte kan geen andere worden afgeleid (TLP 5.134). Dat zou willen zeggen dat we uit het bestaan van een of andere Sachlage het bestaan van een volledig verschillende Sachlage kunnen besluiten (TLP 5.135). Er is geen causaal verband (Kausalnexus) dat een dergelijke gevolgtrekking rechtvaardigt (TLP 5.136).

In een korte excursie (TLP 5.1361-3) stelt Wittgenstein dat de vrije wil erin bestaat dat we handelingen in de toekomst niet kunnen kennen. De gebeurtenissen uit de toekomst kunnen we niet uit die van het heden afleiden.

5.1361 […] Der Glaube an den Kausalnexus ist der Aberglaube.

We zouden de toekomst alleen kunnen kennen wanneer de causaliteit een innerlijke noodzakelijkheid zou zijn, zoals die in logische gevolgtrekkingen. Het is die logische noodzakelijkheid die de samenhang tussen weten en wat geweten wordt bepaalt.

Als een zin “voor zich spreekt” (“uns einleuchtet”) maar daaruit niet volgt dat die zin waar is, kan die vanzelfsprekendheid ook ons geloof in zijn waarheid niet rechtvaardigen.

Categories
TLP 100

Tautologie en contradictie

4.46 Unter den möglichen Gruppen von Wahrheitsbedingungen gibt es zwei extreme Fälle.

In dem einen Fall ist der Satz für sämtliche Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze wahr. Wir sagen, die Wahrheitsbedingungen sind tautologisch.

Im zweiten Fall ist der Satz für sämtliche Wahrheitsmöglichkeiten falsch: Die Wahrheitsbedingungen sind kontradiktorisch.

Im ersten Fall nennen wir den Satz eine Tautologie, im zweiten Fall eine Kontradiktion.

De eerste lijn in de tabel uit TLP 5.101 die we in de vorige bijdrage zagen, laat zien dat ongeacht de waarheid of onwaarheid van de elementaire zinnen de zin I altijd waar is. De laatste lijn O laat zien dat ongeacht de waarheid of onwaarheid van de elementaire zinnen het resultaat altijd onwaar is.

Zowel de tautologie I als de contradictie O zijn zinloos.

4.461 Der Satz zeigt was er sagt, die Tautologie und die Kontradiktion, daß sie nichts sagen.

[…]

(Ich weiß z.B. nichts über das Wetter, wenn ich weiß, daß es regnet oder nicht regnet.)

Omdat de tautologie iedere Sachlage toelaat en de contradictie geen enkele, zijn ze voor Wittgenstein geen beeld van de werkelijkheid (TLP 4.462).

4.463 […] Die Tautologie läßt der Wirklichkeit den ganzen – unendlichen – logischen Raum; die Kontradiktion erfüllt den ganzen logischen Raum und läßt der Wirklichkeit keinen Punkt. Keine von beiden kann daher die Wirklichkeit irgendwie bestimmen.

Of nog verderop in de Tractatus :

5.143 […] Die Kontradiktion verschwindet sozusagen außerhalb, die Tautologie innerhalb aller Sätze.

Die Kontradiktion ist die äußere Grenze der Sätze, die Tautologie ihr substanzloser Mittelpunkt.

Ze zijn evenwel niet onzinnig. Ze maken – nog net – deel uit van de tekentaal, “und zwar ähnlich wie die »0« zum Symbolismus der Arithmetik” (TLP 4.4611).

(Wittgenstein had de vergelijking symmetrischer kunnen uitwerken. De »0« fungeert als neutraal element bij de optelling van gehele getallen: voor elk getal z geldt dat z + 0 = z = 0 + z. De contradictie vervult een soortgelijke rol bij de ‘logische’ optelling (“of”). Wittgenstein vermeldt de logische som evenwel niet; daarentegen geeft hij in TLP 4.465 wel het voorbeeld van het logische product (“en”): het logische product van een tautologie met een willekeurige zin zegt immers precies hetzelfde als die zin, en is dus identiek met die zin. Laat nu net de tautologie de tegenhanger zijn van dat andere neutrale element uit de rekenkunde, met name »1« bij de vermenigvuldiging van (rationale) getallen waar voor elk getal q geldt dat q x 1 = q = 1 x q.)

Als we ervan uitgaan dat een bepaalde logische verbinding van tekens overeenkomt met een bepaalde logische verbinding van de voorwerpen waar die tekens naar verwijzen, kan een zin die voor élke Sachlage (situatie) waar is, niet met een tekenverbinding overeenkomen – waarmee immers alleen een specifieke verbinding van voorwerpen overeenkomt. (En geen enkele logische verbinding komt overeen met géén verbinding van voorwerpen) (TLP 4.466).

4.466 […] Tautologie und Kontradiktion sind die Grenzfälle der Zeichenverbindung, nämlich ihre Auflösung.

Zelfs in de tautologie en de contradictie zijn de tekens met elkaar verbonden maar de relaties verwijzen nergens naar, ze zijn niet wezenlijk voor het symbool (TLP 4.4661).

4.465 […] Denn man kann das Wesentliche des Symbols nicht ändern, ohne seinen Sinn zu ändern.

Toch zijn de tautologie en de contradictie van fundamenteel belang voor de Tractatus. Wittgenstein geldt immers als de ontdekker van het feit dat alle logische wetten tautologieën zijn. Dat een zin een tautologie is, hangt enkel van de logische, formele samenhang van haar bestanddelen af, niet van haar empirische inhoud. Daarmee zijn tautologieën (of contradicties) zijn niet, ook al ‘zeggen ze niets’, wel integendeel. Dat » q«, »p« en »q« in de vorm »(p ⊃ q) . (p) :⊃: (q)« met elkaar verbonden een tautologie zijn, toont dat q uit p en  q volgt (TLP 6.1201). We komen er later op terug.

Categories
TLP 100

De zin als waarheidsfunctie

5 Der Satz ist eine Wahrheitsfunktion der Elementarsätze.
(Der Elementarsatz ist eine Wahrheitsfunktion seiner selbst.)

Als we n standen van zaken beschouwen, zijn er Kn = 2n mogelijke combinaties waarbij iedere individuele stand van zaken wel of niet bestaat (TLP 4.27).

(Wittgenstein maakt het zichzelf en de lezer (nog) moeilijk(er) door met de som van de binomiaalcoëfficiënten op rij n van Pascals driehoek te rekenen. Die som is gelijk aan 2n, zijnde het aantal deelverzamelingen van een verzameling met n elementen. De lezer kan het zich zo voorstellen: iedere combinatie houdt voor iedere stand van zaken de “keuze” in of die bestaat of niet bestaat – lees: of die deel uitmaakt van een deelverzameling van bestaande standen van zaken. Alle mogelijke combinaties komen dan overeen met het totaal aantal deelverzamelingen van de verzameling standen van zaken.)

Met die combinaties van (bestaande of niet-bestaande) standen van zaken komen evenveel mogelijkheden van waarheid of onwaarheid van n Elementarsätzen overeen.

Wittgenstein zet die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze uit in een schema waarbij iedere rij een Wachrheitsmöglichkeit voorstelt in een combinatie van een gegeven aantal elementaire zinnen (TLP 4.31):

pq
WW
FW
WF
FF
De Wahrheitsmöglichkeiten van twee elementaire zinnen

De Wahrheitsmöglichkeiten van de elementaire zinnen zijn de Wahrheitsbedingungen van de (algemene) zinnen die uit die elementaire zinnen gevormd kunnen worden (TLP 4.41). We kunnen het bovenstaande schema immers uitbreiden met een kolom die de zin – hier r – voorstelt waarbij telkens wordt aangegeven in hoeverre de zin overeenstemt of niet overeenstemt met de waarheidsmogelijkheden van de elementaire zinnen p en q waaruit r gevormd wordt. (We komen verder terug op de specifieke combinatie van p en q die r uitdrukt.):

pqr
WWW
FWW
WFF
FFW
De zin r gevormd uit p en q.

4.431

De lezer die de telregel aan het begin van dit stukje onder de knie heeft, ziet dat er op die manier Ln = 22^n mogelijkheden zijn (TLP 4.42). (Ook al maakt Wittgenstein het opnieuw moeilijker dan nodig.)

4.431 […] Der Satz ist der Ausdruck seiner Wahrheitsbedingungen. […]

Net zoals Frege gebruikt Wittgenstein dit schema van Wahrheitsbedingungen als verklaring voor de tekens in zijn Begriffsschrift. Met één belangrijk onderscheid: waar Frege »das Wahre« en »das Falsche« als voorwerpen beschouwde die de argumenten van de zinnen uitmaakten, ontkent Wittgenstein het bestaan van dat soort »Logische Gegenstände« (TLP 4.441). Voor Wittgenstein is de hele tabel hierboven een zinsteken maar

4.442 […] Ein Satz kann unmöglich von sich selbst aussagen, dass er wahr ist. […]

Door voor eens en voor altijd een combinatieregel vast te leggen waarin de rijen waarheidsmogelijkheden elkaar opvolgen, is het voldoende om enkel de laatste kolom als zinsteken te gebruiken:

»(WWFW)(p, q)«.

De volledige rij L2 = 16 mogelijke groepen waarheidsvoorwaarden die bij de waarheidsmogelijkheden van 2 elementaire zinnen behoren, zijn dan (TLP 5.101):

(WWWW)(p,q) I(Wenn p, so p, und wenn q, so q.) (p ⊃ p .q ⊃ q)
(FWWW)(p, q) IINicht beides p und q. (~(p .q))
(WFWW)(p, q)IIIWenn q, so p. (q ⊃ p)
(WWFW)(p, q)IVWenn p, so q. (p ⊃ q)
(WWWF)(p, q)Vp oder q. (p ∨ q)
(FFWW)(p, q)VINicht q. (~q)
(FWFW)(p, q)VIINicht p. (~p)
(FWWF)(p, q)VIIIp oder q, aber nicht beide. (p .~q :∨: q .~p)
(WFFW)(p, q)IXWenn p, so q; und wenn q, so p. (p ≡ q)
(WFWF)(p, q)Xp
(WWFF)(p, q)XIq
(FFFW)(p, q)XIIWeder p noch q. (~p .~q oder p | q)
(FFWF)(p, q)XIIIp und nicht q. (p .~q)
(FWFF)(p, q)XIVq und nicht p. (q .~p)
(WFFF)(p, q)XVq und p. (q .p)
(FFFF)(p, q)0(p und nicht p; und q und nicht q.) (p.~p.q.~q)
De 16 groepen waarheidsvoorwaarden voor alle zinnen gebaseerd op 2 elementaire zinnen.

De zin r uit het voorbeeld hierboven, komt in dit schema overeen met nummer IV. We komen verder terug op de uitleg in woorden die Wittgenstein in de derde kolom toevoegde.

(Wittgenstein voert in TLP 6.1203 ook een grafische voorstelling van de Wahrheitskombinationen in voor de liefhebbers.)

In de eerste kolom maakt Wittgenstein duidelijk hoe hij de zin als functie van de elementaire zinnen zag, met die laatste als Wahrheitsargumente van de zin (TLP 5.01). Frege zag de zinnen als Namen en hun argumenten als de indices van die namen. Wittgenstein gaat daartegenin omdat voor hem een index deel uitmaakt van de beschrijving van het voorwerp dat we een bepaalde naam geven:

5.02 […] (Im Namen Julius Cäsar ist »Julius« ein Index. Der Index ist immer ein Teil einer Beschreibung des Gegenstandes, dessen Namen wir ihn anhängen. Z.B. Der Cäsar aus dem Geschlechte der Julier.) […]

Voor Wittgenstein is »p« in »~p« – nummer VII hierboven – geen index maar een argument. De Sinn van »~p« kan immers niet worden begrepen zonder vooraf de Sinn van »p« te verstaan (TLP 5.02). Het teken »~« slaat in werkelijkheid letterlijk nergens op – en Wittgenstein zal er in de algemene vorm van de zin komaf mee maken.

Categories
TLP 100

Ein Bild zur Erklärung des Wahrheitsbegriffes

5.5151 […] Der positive Satz muß die Existenz des negativen Satzes voraussetzen und umgekehrt.

Beeld je een logische ruimte in waarvan iedere punt – of plaats – de Möglichkeit einer Existenz is (TLP 3.411) en de waarde ‘waar’ of ‘onwaar’ kan aannemen. De (totaliteit van de logische plaatsen ingenomen door de) feiten – is de Wereld (TLP 1.13).

De zin bepaalt een specifieke plaats in die logische ruimte (TLP 3.4). Tegelijk durchgreift ze de hele ruimte. De ontkenning van die zin, de EN/OF-combinatie met andere zinnen… vooronderstellen immers dat de volledige logische ruimte gegeven is (TLP 3.42). Doordat bijvoorbeeld de ontkennende zin een andere logische plaats dan de ontkende zin bepaalt – namelijk één buiten de logische plaats van de ontkende zin – is er een relatie tussen beide (TLP 4.0641).

Iedere zin moet dus al een Sinn hebben voor ze wordt ontkend:

4.063 […] um sagen zu können: »p« ist wahr (oder falsch), muß ich bestimmt haben, unter welchen Umständen ich »p« wahr nenne, und damit bestimme ich den Sinn des Satzes. […]

Hetzelfde geldt voor de bevestiging, “denn sie bejaht ja gerade den Sinn” (TLP 4.064):

4.063 […] das Verbum eines Satzes ist nicht »ist wahr« oder »ist falsch« – wie Frege glaubte -, sondern das, was »wahr ist«, muß das Verbum schon enthalten.

(Wittgenstein licht Freges fout verderop toe in TLP 4.431 :

Nur ist die Erklärung des Wahrheitsbegriffes bei Frege falsch: Wären »das Wahre« und »das Falsche« wirklich Gegenstände und die Argumente in ~p etc., dann wäre nach Freges Bestimmung der Sinn von »~p« keineswegs bestimmt.)

Zonder voorwerpen, de “Substanz der Welt”, zou het zin hebben van een Satz afhangen van het waar zijn van een andere zin (TLP 2.0211). Het teken voor de negatieve zin hoeft dan ook in se niet door middel van dat van de positieve zin worden gevormd, al valt het verband natuurlijk niet te ontkennen. Wat geldt voor »~«, geldt ook voor »∨«, ».«, enzovoort.

Dat de zin een Sinn heeft die onafhankelijk is van de feiten, kan tot verwarring leiden: dat we “waar” en “onwaar” als evenwaardige relaties beschouwen tussen teken en wat het teken aanduidt, alsof »p« auf die wahre Art bezeichnet, was »~p« auf die falsche Art, etc. (TLP 4.061).

4.062 Kann man sich nicht mit falschen Sätzen, wie bisher mit wahren, verständigen? Solange man nur weiß, daß sie falsch gemeint sind. Nein! Denn, wahr ist ein Satz, wenn es sich so verhält, wie wir es durch ihn sagen; und wenn wir mit »p« ~p meinen, und es sich so verhält wie wir es meinen, so ist »p« in der neuen Auffassung wahr und nicht falsch.

De zinnen »p« en »~p« kunnen dus hetzelfde zeggen. Of nog: de zinnen »p« en »~p« hebben een tegengestelde Sinn, maar ze stemmen overeen met één en dezelfde werkelijkheid.

Wanneer precies een zin waar is, noemt Wittgenstein de “waarheidsvoorwaarden”:

4.463 Die Wahrheitsbedingungen bestimmen den Spielraum, der den Tatsachen durch den Satz gelassen wird.

(Der Satz, das Bild, das Modell, sind im negativen Sinne wie ein fester Körper, der die Bewegungsfreiheit der anderen beschränkt; im positiven Sinne, wie der von fester Substanz begrenzte Raum, worin ein Körper Platz hat.) […]

En zo zijn we weer bij TLP 1.13Die Tatsachen im logischen Raum sind die Welt – waar we hierboven vertrokken.

Categories
TLP 100

Nur was wir selbst konstruieren, können wir voraussehen

4.21 Der einfachste Satz, der Elementarsatz, behauptet das Bestehen eines Sachverhaltes.

Een zin kan slechts waar of onwaar zijn doordat hij een beeld, een model van de werkelijkheid is (TLP 4.06). Die werkelijkheid is het bestaan en niet-bestaan van standen van zaken (Sachverhalte, zie TLP 2.06); de wereld is dan de totaliteit van de bestaande standen van zaken (TLP 2.05). De correspondentie tussen Sachverhalte en Sätze gebeurt op het niveau van de eenvoudigste zin, de Elementarsatz, waarvoor geldt:

4.25 Ist der Elementarsatz wahr, so besteht der Sachverhalt; ist der Elementarsatz falsch, so besteht der Sachverhalt nicht.

Geen enkele Elementarsatz kan dus in tegenspraak zijn met een andere.

De “empirische Realität” is begrensd door de totaliteit van de voorwerpen. Die grens toont zich opnieuw in de totaliteit van de elementaire zinnen (TLP 5.5561). Als we alle elementaire zinnen gegeven krijgen, dan kan ik àlle zinnen uit hen opbouwen (TLP 4.51) en daarmee de wereld:

5.5262 Es verändert ja die Wahr- oder Falschheit jedes Satzes etwas am allgemeinen Bau der Welt. Und der Spielraum, welcher ihrem Bau durch die Gesamtheit der Elementarsätze gelassen wird, ist eben derjenige, welchen die ganz allgemeinen Sätze begrenzen. […]

De Elementarsatz is, naar analogie met de voorwerpen in TLP 2.03, een samenhang, een ketting van Namen (TLP 4.22). Wittgenstein verwijst naar de Namen als eenvoudige symbolen door middel van afzonderlijke letters (»x«, »y«, »z«) en naar de Elementarsatz als een functie daarvan (»fx«, »φ(x, y)«) of aangeduid door letters p, q, r.

Preciezer kunnen we de mogelijke vormen van de elementaire zinnen niet bepalen, afgezien van het feit dat de Elementarsatz uit Namen bestaat.

5.556 Eine Hierarchie der Formen der Elementarsätze kann es nicht geben. Nur was wir selbst konstruieren, können wir voraussehen.

Vraag is dan wat er meer te vertellen valt over de algemene vorm van de (algemene) zin. De analyse van iedere andere zin moet onvermijdelijk uitkomen bij de Elementarsätze.

5.5562 Wissen wir aus rein logischen Gründen, daß es Elementarsätze geben muß, dann muß es jeder wissen, der die Sätze in ihrer unanalysierten Form versteht.

De meest algemene vorm van de zin waar Wittgenstein naar op zoek is, zal zich uitwijzen als een functie van die elementaire zinnen. Zoals de Sachverhalt zich met de Elementarsatz verhoudt, hangt de zin samen met de Tatsache – die gaat over het bestaan en niet-bestaan van meerdere individuele Sachverhalten. Het is precies in die combinaties, die overeenkomen met net zoveel mogelijkheden van waarheid – en onwaarheid – van Elementarsätze, waarin de “allgemenine Satzform” schuilt.

Categories
TLP 100

Vorm en inhoud van de zin

4.5 […] Die allgemeine Form des Satzes ist: Es verhält sich so und so.

Hoewel het nog tot Satz 6 van de Tractatus zal duren voor Wittgenstein de meest algemene vorm van een zin beschrijft, geeft TLP 4.5 al een eerste recept:

4.5 Nun scheint es möglich zu sein, die allgemeinste Satzform anzugeben: das heißt, eine Beschreibung der Sätze irgend einer Zeichensprache zu geben, so daß jeder mögliche Sinn durch ein Symbol, auf welches die Beschreibung paßt, ausgedrückt werden kann, und daß jedes Symbol, worauf die Beschreibung paßt, einen Sinn ausdrücken kann, wenn die Bedeutungen der Namen entsprechend gewählt werden.

Dat er een algemene zinsvorm is, wordt voor Wittgenstein daardoor bewezen dat er geen zin mag zijn, waarvan we de vorm niet hadden kunnen voorzien (i.e. construeren).

5.47 Man könnte sagen: Die Eine logische Konstante ist das, was alle Sätze, ihrer Natur nach, mit einander gemein haben.

Das aber ist die allgemeine Satzform.

De algemene zinsvorm is het wezen van de zin. Dat wezen aangeven (TLP 5.4711) wil zeggen het wezen van alle beschrijving, en dus het wezen van de wereld aangeven.

We doen een poging om die algemene zinsvorm al een eerste keer te construeren met behulp van de bouwstenen die we in de vorige bijdragen verzamelden.

Wittgenstein benadrukt al vroeg (TLP 3.13) dat alles tot de zin behoort wat bij de projectie behoort, maar niet het geprojecteerde.

Im Satz ist also sein Sinn noch nicht enthalten, wohl aber die Möglichkeit, ihn auszudrücken.

[…]

Im Satz ist die Form seines Sinnes enthalten, aber nicht dessen Inhalt.

In tegenstelling tot de uitdrukking, die zowel vorm als inhoud kenmerkt (TLP 3.31), is de zin wel vorm maar slechts mogelijke zin. En het wezenlijke van een zin is dat wat alle zinnen, die dezelfde Sinn kunnen uitdrukken, gemeen hebben. Zonder daar nu al de definitieve beschrijving van te kunnen geven, mag het duidelijk zijn uit het recept dat die Sinn bepaald wordt door de uitdrukking(en) in de zin – ook al heeft de uitdrukking enkel in de zin Bedeutung, kan ze ergens naar verwijzen (TLP 3.314).

Die vorm maakt dat de zin op een welbepaalde, duidelijk aangeefbare wijze uit kan drukken wat zij uitdrukt: “Der Satz ist artikuliert” (TLP 3.251). Het teken waardoor we de gedachten uitdrukken, noemt Wittgenstein het zinsteken. Dat zinsteken is een Tatsache (TLP 3.14): zijn elementen verhouden zich op bepaalde “Art und Weise” die de voorwerpen van de gedachte weerspiegelt.

Dat het zinsteken een feit is, is niet zonder meer duidelijk uit de (schrift-, fonetische) tekens van alle dag waarin het zinsteken niet wezenlijk verschilt van een woord(enbrij). Toch is er één en slechts één volledige Analyse van de zin (TLP 3.25) waarbij de configuratie van de elementen van het zinsteken overeenkomt met die van de voorwerpen uit de Sachlage – “wie ein lebendes Bild” (TLP 4.0311). Die elementen, de »einfache Zeichen«, zijn de Namen uit het recept.

3.203 Der Name bedeutet den Gegenstand. Der Gegenstand ist seine Bedeutung. (»A« ist dasselbe Zeichen wie »A«.)

De Namen zijn oertekens, ze zijn niet verder te definiëren, te ontleden, uit elkaar te halen, ze verwijzen – bedeuten – naar enkelvoudige voorwerpen. We kunnen ze hoogstens verduidelijken, maar enkel door middel van zinnen die diezelfde oertekens bevatten – en die we dus enkel kunnen verstaan als de betekenis van die oertekens al bekend is. Op dezelfde wijze:

3.221 Die Gegenstände kann ich nur nennen. Zeichen vertreten sie. Ich kann nur von ihnen sprechen, sie aussprechen kann ich nicht. Ein Satz kann nur sagen, wie ein Ding ist, nicht was es ist.

3.3 Nur der Satz hat Sinn; nur im Zusammenhange des Satzes hat ein Name Bedeutung.

Het is de toepassing van de tekens die tot uiting brengen wat niet in de tekens zelf tot uitdrukking komt. Pas in en door het feit – en het beeld van dat feit, de zin – kan een Sinn worden uitgedrukt, niet door de Namen (TLP 3.142).

Wittgenstein geeft eigenlijk al een voorbeeld van de toepassing van het recept, lang voor TLP 4.5, in het veelbetekenende :

3.1432 Nicht: »Das komplexe Zeichen ›aRb‹ sagt, daß a in der Beziehung R zu b steht«, sondern: Daß »a« in einer gewissen Beziehung zu »b« steht, sagt, daß aRb.

De feiten spreken voor zich.

Zodra de Bedeutung vastligt – lees: de verwijzing van Namen naar Gegenstände, kan het recept worden toegepast – lees: de Sachverhalten en Tatsachen opgebouwd en daarmee de mogelijke Sinn. Hoe de wisselwerking tussen Sinn en Symbol uit het recept precies in zijn werk gaat, vereist nog een belangrijke bouwsteen – ja oder nein – met een omineuze cliffhanger :

4.023 Die Wirklichkeit muß durch den Satz auf ja oder nein fixiert sein.

Dazu muß sie durch ihn vollständig beschrieben werden.

Der Satz ist die Beschreibung eines Sachverhaltes.

Wie die Beschreibung einen Gegenstand nach seinen externen Eigenschaften, so beschreibt der Satz die Wirklichkeit nach ihren internen Eigenschaften.

Der Satz konstruiert eine Welt mit Hilfe eines logischen Gerüstes und darum kann man am Satz auch sehen, wie sich alles Logische verhält, wenn er wahr ist. Man kann aus einem falschen Satz Schlüsse ziehen.

Categories
TLP 100

Variabelen en formele begrippen

4.1271 Jede Variable ist das Zeichen eines formalen Begriffes.

Denn jede Variable stellt eine konstante Form dar, welche alle ihre Werte besitzen, und die als formale Eigenschaft dieser Werte aufgefaßt werden kann.

Wittgenstein voert in TLP 4.122 de begrippen formale (formele? of vormelijke?) Eigenschaften van voorwerpen en standen van zaken in, en structuureigenschappen van feiten en relaties tussen structuren – die hij “interne” eigenschappen en “interne” relaties noemt.

4.123 Eine Eigenschaft ist intern, wenn es undenkbar ist, dass ihr Gegenstand sie nicht besitzt.

(Diese blaue Farbe und jene stehen in der internen Relation von heller und dunkler eo ipso. Es ist undenkbar, dass diese beiden Gegenstände nicht in dieser Relation stünden.)

(Hier entspricht dem schwankenden Gebrauch der Worte »Eigenschaft« und »Relation« der schwankende Gebrauch des Wortes »Gegenstand«.)

4.122 […] Ich führe diese Ausdrücke ein, um den Grund der bei den Philosophen sehr verbreiteten Verwechslung zwischen den internen Relationen und den eigentlichen (externen) Relationen zu zeigen. […]

Een voorbeeld van een interne relatie is de rij van natuurlijke getallen (TLP 4.1252), die door middel van een interne – en dus geen externe – relatie geordend is. Zie ook de rij van Sätze

»aRb«,

»(x) : aRx . xRb«,

»(x, y) : aRx . xRy . yRb«, enzovoort.

(Als b in één van deze betrekkingen staat tot a, dan noemen we b een [en dus niet “de”, heren Huijzer en Sietsma] opvolger van a.)

Het bestaan van interne eigenschappen en relaties kan echter niet door zinnen worden beweerd. Het toont zich in de zinnen die die standen van zaken voorstellen en over die voorwerpen handelen, als een interne eigenschap van die zinnen, of als interne relatie tussen de zinnen die die mogelijke Sachlagen voorstellen.

4.1251 Hier erledigt sich nun die Streitfrage, »ob alle Relationen intern oder extern seien«.

Op dezelfde manier als we over formele/vormelijke eigenschappen spreken, kunnen we ook over formele/vormelijke begrippen spreken zoals »Komplex«, »Tatsache«, »functie«, »getal«, enzovoort: de formele/vormelijke eigenschappen zijn de kenmerken van de formele/vormelijke begrippen.

De uitdrukking van een formele/vormelijke eigenschap is een trek, een aspect van bepaalde symbolen – van alle symbolen waarvan de Bedeutung onder het begrip vallen.

4.126 […] Dass etwas unter einen formalen Begriff als dessen Gegenstand fällt, kann nicht durch einen Satz ausgedrückt werden. Sondern es zeigt sich an dem Zeichen dieses Gegenstandes selbst. (Der Name zeigt, dass er einen Gegenstand bezeichnet, das Zahlenzeichen, dass es eine Zahl bezeichnet, etc.) […]

4.126 […] (Ich führe diesen Ausdruck ein, um den Grund der Verwechslung der formalen Begriffe mit den eigentlichen Begriffen, welche die ganze alte Logik durchzieht, klar zu machen.)

De vraag of een formeel/vormelijk begrip bestaat is onzinnig, precies omdat geen enkele zin die vraag kan beantwoorden (TLP 4.1274). In tegenstelling met de eigenlijke begrippen, kan een formeel/vormelijk begrip niet door een functie worden voorgesteld, precies omdat hun kenmerken, de formele/vormelijke eigenschappen, niet door een functie (of een klasse) kunnen worden uitgedrukt zoals Frege en Russell geloofden.

We kunnen een uitdrukking als een variabele zien, waarvan de waarde alle zinnen zijn waarin die uitdrukking voorkomt maar waar in die zinnen al het overige willekeurig is. Een dergelijke variabele noemt Wittgenstein een Satzvariable, en de uitdrukking van een formeel/vormelijk begrip is een Satzvariable waarin het karakteristieke aspect, de ‘karaktertrek’ van hierboven het constante bestanddeel is en die als formele/vormelijke eigenschap van die waarden kan worden opgevat. De Satzvariable bezeichnet het formeel/vormelijke begrip en haar waarden zijn precies die voorwerpen die onder dat begrip vallen.

We schrijven dus de variabele Name »x« als het eigenlijke teken van het “schijnbegrip” Gegenstand (TLP 4.1272). Telkens wanneer het woord »Gegenstand« (»Ding«, »Sache«, enzovoort) correct gebruikt wordt, wordt het in het Begriffsschrift uitgedrukt door een variabele Naam. Dus niet: »Er zijn 2 Gegenstände, die…« maar »(x, y) . . .«.

Waar het eigenlijke begripswoord gebruikt wordt, ontstaan onzinnige schijnzinnen. Het formele/vormelijke begrip is er al aan de hand van een voorwerp dat onder dat begrip valt. Je kan niet tegelijk zowel dergelijke voorwerpen als het begrip zelf als Grundbegriffe invoeren (TLP 4.1271). Je kan bijvoorbeeld niet zeggen: »Er zijn 100 dingen « zoals je zegt: »Er zijn 100 boeken«. Uitdrukkingen zoals »1 is een getal«, »Er is maar één nul« zijn onzin.

Omdat een uitdrukking enkel in de zin naar iets verwijst (Bedeutung heeft), laat iedere variabele zich als Satzvariable opvatten. Maar de definitie van de variabele gaat enkel over de (formele) uitdrukking, niet over Bedeutung, de definitie spreekt zich niet uit over das Bezeichnete.

Als we op die manier ieder teken in de zin, waarvan de Bedeutung willekeurig is, in een variabele omzetten, dan blijft enkel nog de Natur des Satzes over, een logische Vorm “- einem logischen Urbild.” (TLP 3.315).

Voor een verder goed begrip van de Tractatus is het volgende voorbeeld van deze redenering van aanzienlijk belang (TLP 4.1273). We hernemen de Satz »b is een opvolger van a« van hierboven. Wat is een uitdrukking voor een willekeurig lid van de rij die we hierboven tegenkwamen? Dat kan enkel door middel van een Variable want het begrip: lid van deze rij is een formeel/vormelijk begrip.

Wittgenstein kiest ervoor om een willekeurig lid van de rij voor te stellen als het eerste lid van de rij gecombineerd met de algemene vorm van de bewerking die het volgende lid uit de aan dat lid voorafgaande Satz oplevert: [x0, x, O(x)].