3.318 Den Satz fasse ich – wie Frege und Russell – als Funktion der in ihm enthaltenen Ausdrücke auf.
3.32 Das Zeichen ist das sinnlich Wahrnehmbare am Symbol.
Een uitdrukking of een symbool is elk deel van de zin dat haar betekenis karakteriseert. (De zin zelf is dus ook een uitdrukking.) De uitdrukking omvat al datgene dat wezenlijk is voor de betekenis van de zin. Ze kenmerkt een vorm en een inhoud (TLP 3.31).
Iedere mogelijke zin is volgens Wittgenstein rechtmatig gevormd. Als de zin geen betekenis heeft, dan kan het enkel daaraan liggen dat we sommige bestanddelen van de zin geen Bedeutung hebben gegeven “(Wenn wir auch glauben, es getan zu haben.)” (TLP 5.4733).
Het (schrift-, fonetisch) teken is wat onze zintuigen kunnen waarnemen van het symbool. Dat neemt niet weg dat eenzelfde teken gemeenschappelijk zou kunnen zijn voor twee verschillende symbolen – “sie bezeichnen dann auf verschiedene Art und Weise” (TLP 3.321). Het teken is immers willekeurig. Het woord “is” bijvoorbeeld, verschijnt in de omgangstaal zowel als koppelwerkwoord, als gelijkheidsteken en als uitdrukking van bestaan; we spreken over “iets” maar “iets” kan evengoed gebeuren (TLP 3.323).
5.4733 […] So sagt »Sokrates ist identisch« darum nichts, weil wir dem Wort »identisch« als Eigenschaftswort keine Bedeutung gegeben haben. Denn, wenn es als Gleichheitszeichen auftritt, so symbolisiert es auf ganz andere Art und Weise – die bezeichnende Beziehung ist eine andere, – also ist auch das Symbol in beiden Fällen ganz verschieden; die beiden Symbole haben nur das Zeichen zufällig miteinander gemein.
3.324 So entstehen leicht die fundamentalsten Verwechselungen (deren die ganze Philosophie voll ist).
Om zulke vergissingen te vermijden, moeten we een tekentaal gebruiken die niet hetzelfde teken in verschillende symbolen gebruikt, en die tekens die op een verschillende manier bezeichnen, niet uiterlijk op dezelfde wijze gebruikt. Het hangt dus enkel van onze notatie af hoeveel “Grundoperationen” (TLP 5.474), hoeveel “Dimensionen”, hoe groot de “Mannigfaltigkeit” (TLP 5.475) van ons tekensysteem moet zijn.
Het Begriffsschrift dat Frege en later Russell ontwikkelden, probeert op die manier aan de logische syntax te gehoorzamen maar ook zij sluiten nog niet alle fouten uit, aldus Wittgenstein (TLP 3.325).
Wittgenstein kwam al zeer vroeg tot dit inzicht, net als heel wat andere die vijf jaar later hun weg vonden naar de Tractatus. In een brief aan Russell aan het eind van 2013 lezen we al:
Ein Satz wie „(∃x) . x = x“ z.B. ist eigentlich ein Satz der Physik. Der Satz
„(x) : x = x .⊃. (∃y) .y = y“
ist ein Satz der Logik; es ist nun Sache der Physik zu sagen, ob es ein Ding gibt.
Ludwig Wittgenstein aan Bertrand Russell, november/december 1913
Iedereen moet denken aan de neushoorn in de kamer.
5.5352 Ebenso wollte man »Es gibt keine Dinge« ausdrücken durch » ~(∃x ) . x = x«. Aber selbst wenn dies ein Satz wäre – wäre er nicht auch wahr, wenn es zwar »Dinge gäbe«, aber diese nicht mit sich selbst identisch wären?
Om het symbool aan het teken te herkennen, moeten we naar het betekenisvolle gebruik kijken. Enkel in samenhang met zijn logisch-syntactische toepassing bepaalt een teken een logische vorm.
Ten eerste: als een teken niet nodig is [Noot: de vertalers gaan zonder uitzondering voor “niet gebruikt” voor Wittgensteins nicht gebraucht in TLP 3.328, maar ik denk dat hij het stelliger bedoelde, zie ook TLP 5.47321. Waar Ramsey & Ogden not necessary zeiden, werd het bij Pears & McGuinness useless], geen doel vervult, heeft het geen Bedeutung. Dat is de betekenis van Ockhams devies.
Wanneer alles zich anderzijds voordoet alsof een teken Bedeutung heeft, dan heeft het ook Bedeutung.
Als ik twee tekens in dezelfde Bedeutung gebruik, dan druk ik dat uit door middel van het gelijkheidsteken (TLP 4.241):
»a = b« heißt also: das Zeichen »a« ist durch das Zeichen »b« ersetzbar.
(Op dezelfde wijze kan ik ook een nieuw teken »b« definiëren als mogelijke vervanger van »a« door de tekenregel »a = b Def.«.)
Als ik de gelijkheid van twee Gegenstände wil uitdrukken, dan gebruik ik hetzelfde teken, geen gelijkheidsteken.
5.53 […] Verschiedenheit der Gegenstände durch Verschiedenheit der Zeichen.
Van twee zaken zeggen dat ze identiek zijn, is onzin. Van twee zaken zeggen dat ze alle eigenschappen gemeenschappelijk hebben, is geen onzin maar is nooit waar. Van één ding zeggen dat het identiek aan zichzelf is, zegt niets (TLP 5.5303).
Schrijf dus niet »f(a, b) . a = b«, maar »f(a, a)« (of »f(b, b)«). Niet »f(a, b) . ~ a = b«, maar »f(a, b)« (TLP 5.531). Niet »(∃x, y) . f(x, y) . x = y«, maar »(∃x ) . f(x, x)«, en niet »(∃x , y) . f(x, y) . ~ x = y«, maar »(∃x, y) . f(x, y)«. En in plaats van Russells »(∃x , y) . f (x, y)« »(∃x , y) . f(x, y) .∨. (∃x ) . f(x, x)« (TLP 5.532). In plaats van »(x) : fx ⊃ x = a« schrijven we bijvoorbeeld »(∃x) . fx .⊃. fa : ~(∃x , y) . fx . fy«.
Schijnzinnen als »a = a«, »a = b . b = c .⊃ a = c«, »(x) . x = x«, »(∃x ) . x = a«, enzovoort laten zich in een correct Begriffsschrift helemaal niet neerschrijven (TLP 5.534).
Het gelijkheidsteken maakt dus geen wezenlijk deel uit van het Begriffsschrift. De uitdrukking »a = b« is slechts een hulpmiddel bij de weergave; ze zegt niets over de Bedeutung van de gebruikte tekens.
Let wel: in de logische syntax mag de Bedeutung van een teken geen rol spelen. De syntax stelt enkel de beschrijving van uitdrukkingen (symbolen) voorop. Definities geven aan hoe je iedere tekentaal in een andere (moet) vertalen – dat is wat tekentalen gemeen hebben (TLP 3.344). Wat precies aan een symbool bezeichnet, is wat al die symbolen gemeen hebben die volgens de regels van de logische syntax door elkaar kunnen worden vervangen (TLP 3.343). De regels van de logische syntax moeten vanzelf spreken als we maar weten hoe een teken bezeichnet.
Daarin toont zich de vergissing van Russell in diens ‘Theory of types’, dat hij bij het opstellen van de tekenregels over de Bedeutung van de tekens moest spreken.
3.332 Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die ganze »Theory of Types«).
3.333 Eine Funktion kann darum nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits das Urbild seines Arguments enthält und es sich nicht selbst enthalten kann.
Nehmen wir nämlich an, die Funktion F(fx) könnte ihr eigenes Argument sein; dann gäbe es also einen Satz: »F(F(fx))« und in diesem müssen die äußere Funktion F und die innere Funktion F verschiedene Bedeutungen haben, denn die innere hat die Form φ(fx), die äußere die Form ψ(φ(fx)). Gemeinsam ist den beiden Funktionen nur der Buchstabe »F«, der aber allein nichts bezeichnet.
Dies wird sofort klar, wenn wir statt »F(F(u))« schreiben »(∃φ) : F(φu) . φu = Fu «.
Hiermit erledigt sich Russells Paradox.