6 Die allgemeine Form der Wahrheitsfunktion ist: [ p, ξ, N(ξ) ].
Dies ist die allgemeine Form des Satzes.
Iedere zin is het resultaat van de opeenvolgende toepassing van de operatie N'(·) – die we hieronder zullen invoeren – op de elementaire zinnen (TLP 6.001).
(De notatie [x0, x, O(x)] zijn we al bij de formele begrippen tegengekomen. De lijn boven de argumenten duidt aan dat het om een argument met meerdere exemplaren van (elementaire) zinnen kan gaan.)
In één beweging definieert Wittgenstein ook de (natuurlijke) getallen, enerzijds als de exponent – de ‘teller’ – van de zich ‘zelfvermenigvuldigende’ operatie (TLP 6.021) en anderzijds, zoals Richard Dedekind en Giuseppe Peano hem voordeden, als eenvoudige toepassing van het bovenstaande recept: [ 0, ξ, ξ+1 ]. In woorden: we starten met de definitie van ‘0’ en definiëren 1 als de ‘opvolger’ van 0, 2 als de opvolger van 1, enzovoort (TLP 6.03).)
Waarom vindt Wittgenstein die algemene vorm van de waarheidsfunctie zo belangrijk dat hij er één van de zeven Sätze van de Tractatus van maakt?
Die Logik muß für sich selber sorgen.
Ludwig Wittgenstein, MS-101, 22.08.1914
In één van zijn eerste dagboeknotities aan het front legt Wittgenstein zichzelf al zijn programma op. Niets in de logica mag – kàn – toevallig zijn. Alles wat mogelijk is, is toegelaten. Alles wat ‘arbitrair’ is, in de zin dat iemand alsnog moet oordelen over het precieze gebruik, is uit den boze.
5.473 […] Wir können uns, in gewissem Sinne, nicht in der Logik irren.
Die eis geldt in het bijzonder voor de notaties, het tekensysteem, dat de ‘logische Syntax’ dient te eerbiedigen. Het Begriffsschrift van Frege en Russell is een verdienstelijke poging in die zin, “die allerdings noch nicht alle Fehler ausschließt” (TLP 3.325).
Voor Wittgenstein is het duidelijk dat de logica, de logische uitspraken en de Sätze in het algemeen, aan elkaar hangen door middel van interne relaties (TLP 5.2), ook al wordt die interne structuur vaak versluierd door een ondoorzichtige oppervlakkige notatie.
Terwijl Wittgenstein het werk van Frege en Russell uitpuurde, publiceerde een Amerikaans logicus, Henry Sheffer, in 1913 een reconstructie van de logische syntax waarin hij slechts één ‘constante’ operator nodig had in plaats van de traditionele EN, NIET en OF. Sheffer bouwde zijn stelsel op aan de hand van de NOR-operator (niet het éne én niet het andere) en gaf terloops mee dat dat evengoed kon aan de hand van de NAND-operator (niét het éne én het andere).
De laatste operator wordt vandaag met de streep van Sheffer genoteerd “p | q” terwijl NOR met de pijl van Peirce wordt aangegeven: “p † q”. Die Peirce is Charles Peirce die dertig jaar voor Sheffer al tot dezelfde conclusie was gekomen – maar dat niet had gepubliceerd.
Let op: Wittgenstein gebruikt de streep van Sheffer in de Tractatus om NOR aan te duiden. We kunnen niet uit de tekst opmaken in hoeverre Wittgenstein zich ervan bewust was dat zowel NOR als diens duale operator NAND in aanmerking kwamen voor wat Wittgenstein beoogde.
Wat Wittgenstein dus met zijn N-operator uit Satz 6 bedoelt, is dat de hele syntax kan worden geschreven door opeenvolgende, geneste toepassingen van de streep van Sheffer op de elementaire zinnen:
5.51 Hat ξ nur einen Wert, so ist N(ξ) = ~p (nicht p), hat es zwei Werte, so ist N(ξ) = ~p . ~q (weder p noch q).
Het opzet is duidelijk. Vervang de slechts schijnbaar veelbetekenende tekens »⊃«, »~«, »∨« enzoverder door misschien ingewikkeldere maar ‘structurelere’ uitdrukkingen met de streep van Sheffer en we gaan alvast niet meer verleid worden om te denken dat die tekens »⊃«, »~«, »∨« met iets uit de werkelijkheid zouden overeenkomen (TLP 5.4).
Dat we die tekens overigens al kunnen definiëren door middel van elkaar, wijst erop dat ze geen ‘oertekens’ zijn (TLP 5.42) – en bewijst (of suggereert minstens) dat het de interne relaties tussen de zinnen zijn die het wezenlijke beschrijven.
5.512 […] Das, was in »~p« verneint, ist aber nicht das »~«, sondern dasjenige, was allen Zeichen dieser Notation, welche p verneinen, gemeinsam ist.
Also die gemeinsame Regel, nach welcher »~p«, »~~~p«, »~p ∨ ~p«, »~p . ~p«, etc. etc. (ad inf.) gebildet werden. Und dies Gemeinsame spiegelt die Verneinung wider.
Wittgenstein wil op die manier de interne relaties tussen de zinnen op uniforme wijze voorstellen, meer nog: zinnen construeren uit andere zinnen en ultiem uit elementaire zinnen door middel van opeenvolgende toepassingen van één Wahrheitsoperation (omzeggens heel TLP 5.2, 5.3sqq).
Het zijn de elementaire zinnen die ‘drager’ zijn van de waarheid in de manier waarop ze overeenkomen met bestaande Sachverhalte. Met die elementaire zinnen worden op de hierboven geschetste manier zinnen geconstrueerd, en met die zinnen opnieuw zinnen samengesteld enzoverder maar: de logica staat volledig los van (enig vermoeden van) de empirische betekenis van de uiteindelijke zinnen.
Wie zich waagt aan een ‘semantische’ onderbouw voor logische constanten en zelfs het logische stelsel in zijn geheel, verliest zichzelf al snel in onzin door uitspraken te doen over ‘dingen’ die in de werkelijkheid niet bestaan.
Meer nog: de logica, zoals we zullen zien, beperkt zich tot tautologieën en contradicties. Alle overige zinnen maken geen deel uit van de logica. De waarheidsmogelijkheden van de elementaire zinnen, samen met de regels van de logische syntax, bepalen verder, los van de werkelijkheid, of de samengestelde zinnen waar of onwaar zijn. Je kan je evenzovele werelden inbeelden waarin telkens een andere constellatie van waarheidsmogelijkheden geldt en de ene zin waar en de andere onwaar is – of vice versa. Dat maakt niet uit voor een toepassing van de logica om de interne samenhang tussen de zinnen te begrijpen. De structuur van de zinnen zegt alles.
5.3 […] Jeder Satz ist das Resultat von Wahrheitsoperationen mit Elementarsätzen.
Wie dat eenvoudiger vindt, kan de hele operatie bekijken door de lens van de Wahrheitsfunktion uit de voorgaande bijdragen. Uit de tabel van TLP 5.101 weten we immers dat ‘—–W’ de waarheidsvoorwaarden zijn van XII, de NOR van Sheffer.
5.5 Jede Wahrheitsfunktion ist ein Resultat der successiven Anwendung der Operation (—–W)(ξ, . . . .) auf Elementarsätze.
Diese Operation verneint sämtliche Sätze in der rechten Klammer, und ich nenne sie die Negation dieser Sätze.
5.502 Ich schreibe also statt »(—–W)(ξ, . . . .)« »N(ξ)«.
N(ξ) ist die Negation sämtlicher Werte der Satzvariablen ξ.
Uit die Wahrheitsfunktion is ook het begrip “Alle” gehaald, of beter: de Allgemeinheitsbezeichnung treedt op als argument (TLP 5.523). Als er voorwerpen zijn, zijn er in één beweging alle voorwerpen gegeven; zijn de elementaire zinnen gegeven, dan daarmee ook alle elementaire zinnen (TLP 5.524). De zinnen kunnen in eerste instantie zo algemeen zijn dat geen enkele Name naar een specifieke Gegenstand verwijst.
5.526 […] Um dann auf die gewöhnliche Ausdrucksweise zu kommen, muss man einfach nach einem Ausdruck: »Es gibt ein und nur ein x, welches…« sagen: Und dies x ist a.
Zeggen en tonen…